Главная :: Геометрия :: Практика 27 :: Задача №271 Основанием четырехугольной пирамиды является ромб с острым углом a и меньшей диагональю 2d. Все двугранные углы при основании пирамиды равны b. Найти площадь полной поверхности, объем и высоту пирамиды.

Пусть меньшая диагональ ромба - BD, а значит острыми углами будут А и С (противоположные углы ромба равны). Вспомним свойства диагоналей ромба: Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и точкой пересечения делятся попалам. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов. Т.е. ВО=OD=d и РВАО=РDAO=a/2
Рассмотрим прямоугольный треугольник АОВ. В нем:
ОА=ОВЧсtga/2, следовательно АС=2ОА=2ОВЧсtga/2=2dЧсtga/2
S_ABCD=1/2ЧACЧBD=1/2Ч2dЧ2dЧсtga/2=4d²Чсtga/2
Из точки О опустим перпендикуляр ОК на АВ. Теперь соединим точку К и вершиной пирамиды. МК перпендикулярна АВ по теореме о трех перпендикулярах. Значит, угол МКО является линейным углом двугранного угла между боковой гранью АВМ и основанием АВСD и равен b.
Из прямоугольного треугольника АОК найдем:
ОК=АОЧsinРВАО=ОВЧсtga/2Чsina/2=dЧcosa/2
Изпользуя теорему: Если все боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под одинаковым углом, то в основание такой пирамиды можно вписать круг, а высота, опущенная из вершины на основание, падает в центр вписанного в основание круга. Центром вписанного в ромб круга является пересечение его диагоналей. Поэтому МО есть высота пирамиды. МО перпендикулярна любой прямой в плоскости основания АВСD по определению в том числе и ОК. Из прямоугольного треугольника МОК найдем:
МО=ОКЧtgb=dЧcosa/2Чtgb
МK=ОК/cosb=dЧcosa/2Чcosb
Из прямоугольного треугольника АОВ определим АВ, а затем и площадь треугольника АВК:
Равенство (1) имеет место, т.к. a лежит в первой четверти.
(2) - боковые грани суть равные треугольники, поэтому площадь боковой поверхности равна четырем площадям одной боковой грани.